Class 10 Optional Mathematicsकक्षा १० ऐच्छिक गणित — SEE notes & solutions

एकात्मक फलनको परिभाषा लेख्नुहोस् ।
Write the definition of identity function.

यदि a र b दुई धनात्मक सङ्ख्याहरू भए तिनीहरूको समानान्तरीय मध्यमा (AM) र गुणोत्तर मध्यमा (GM) बिचको सम्बन्ध लेख्नुहोस् ।
If a and b are two positive numbers, write the relation between their arithmetic mean (AM) and geometric mean (GM).

मेट्रिक्स \( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \) को विपरीत मेट्रिक्स के हुन्छ, लेख्नुहोस् ।
What is the inverse matrix of matrix\( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \)? Write it.

समीकरण \( ax^2 + 2hxy + by^2 = 0 \) ले जनाउने जोडा रेखाहरू कुन अवस्थामा सम्पाती हुन्छन् ? लेख्नुहोस् ।

Under what condition the pair of straight lines represented by equation \( ax^2 + 2hxy + by^2 = 0 \) are coincident? Write it.

कुन अवस्थामा एउटा सोलीलाई समतलीय सतहले प्रतिच्छेदन गर्दा वृत्त बन्छ, लेख्नुहोस् ।
In which condition a circle is formed when a plane surface intersects a cone? Write it.

विपरीत स्थानान्तरणमा यदि विन्दु P उत्क्रम वृत्तको केन्द्रविन्दुमा पर्दछ भने P को प्रतिविम्ब P' कहाँ पर्दछ, लेख्नुहोस् ।
In an inversion transformation, if a point P lies at the centre of inversion circle then where does its image P' lie? Write it.

यदि बहुपदीय p(y)=\( p(y) = y^3 - 2ay^2 + ay - 2 \) को एउटा गुणन खण्ड y−2y - 2y−2 भए a को मान पत्ता लगाउनुहोस् ।
If y−2y - 2y−2 is a factor of polynomial p(y)=y3−2ay2+ay−2p(y) = \( p(y) = y^3 - 2ay^2 + ay - 2 \) find the value of a.

यदि समीकरणहरू ax−5y=3 र 4x+3y=4 मा D=26  भए क्रामरको नियम प्रयोग गरी 'a' को मान पत्ता लगाउनुहोस् ।
If the equations ax−5y=3 and 4x+3y=4  have D=26, find the value of 'a' using Cramer's rule.

समीकरण \( 6x^2 + 5xy - 6y^2 - 3x + 2y = 0 \) ले प्रतिनिधित्व गर्ने जोडा रेखाहरूको छुट्टा छुट्टै समीकरण पत्ता लगाउनुहोस् ।
Find the separate equation of the pair of lines represented by the equation \( 6x^2 + 5xy - 6y^2 - 3x + 2y = 0. \)

एउटा निरन्तर श्रेणीमा \( ∑f∣m−xˉ∣=1134 \)  N =100  र मध्यक (xˉ)=40 भए मध्यक भिन्नता र यसको गुणाङ्क पत्ता लगाउनुहोस् ।
In a continuous series if \( ∑f∣m−xˉ∣=1134 \), N=100  and mean (xˉ)=40, find the mean deviation and its coefficient.

लेखाचित्र विधिद्वारा हल गर्नुहोस् (Solve graphically): \( y = x^2 \) and  y=2x+3 . 

मेट्रिक्स विधिको प्रयोग गरी हल गर्नुहोस् (Solve by using matrix method):

2x−3y=7 and 3x−4y=10

यदि वृत्त \( x^2 + y^2 - 2x - 10y + 1 = 0 \)को एउटा व्यासको एक छेउको निर्देशाङ्कहरू (1,0) भए अर्को छेउको निर्देशाङ्कहरू पत्ता लगाउनुहोस् ।
If the co-ordinates of one end of a diameter of the circle \( x^2 + y^2 - 2x - 10y + 1 = 0 \) is (1,0) find the co-ordinates of the other end.

शीर्षविन्दुहरू A(3,6), B(4,2) र C(2,2)भएको \( △ABC\ \) लाई x-अक्षमा परावर्तन गर्दा प्राप्त हुने प्रतिविम्ब त्रिभुजको शीर्षविन्दुहरूका निर्देशाङ्कहरू मेट्रिक्स विधिद्वारा पत्ता लगाउनुहोस् ।

Find the co-ordinates of the vertices of image triangle of the △ABC with vertices A(3,6), B(4,2)B(4,2) and C(2,2) under the reflection on the x-axis by matrix method.

गुणोत्तर श्रेणीमा रहेका तीनओटा क्रमिक सङ्ख्याहरूको योगफल 56 छ । यदि ती सङ्ख्याहरूबाट क्रमश: 1, 7 र 21 घटाउँदा सङ्ख्याहरू समानान्तरीय श्रेणीमा हुन्छन् भने ती सङ्ख्याहरू पत्ता लगाउनुहोस् ।
The sum of three consecutive numbers of a geometric series is 56. If 1, 7 and 21 be subtracted from the numbers respectively, they form an arithmetic series. Find the numbers.

घनघातीय फलनको परिभाषा लेख्नुहोस् ।
Write the definition of cubic function.

अविच्छिन्न हुने सङ्ख्याहरूको समूहको नाम लेख्नुहोस् ।
Write the name of the set of numbers which is continuous.

कुन अवस्थामा दिइएको मेट्रिक्सको विपरित मेट्रिक्स मान्य हुँदैन ? लेख्नुहोस् ।
In which condition the inverse matrix of the given matrix does not exist? Write it.

यदि \( D_x = \begin{vmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 6 \end{vmatrix}​​ र D_y = \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ -2 & 7 \end{vmatrix} \)​​ भए x र y का मानहरू पत्ता लगाउनुहोस् ।

If \( D_x = \begin{vmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 6 \end{vmatrix} and D_y = \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ -2 & 7 \end{vmatrix} \)​​ then find the values of x and y.

यदि दुईओटा फलनहरू \( f(x) = \dfrac{2x-5}{3} \)   र g(x)=x+4 भए \( (f \circ g)^{-1}(3) \) पत्ता लगाउनुहोस् ।
If two functions are\( f(x) = \dfrac{2x-5}{3} \)   and g(x)=x+4, find \( (f \circ g)^{-1}(3) \).

मेट्रिक्स विधिद्वारा हल गर्नुहोस् (Solve by matrix method):
4x−3y=11 and 3x+7y+1=0

यदि मेट्रिक्स \( \begin{pmatrix} p & 2 \\ q & 2 \end{pmatrix} \) ले एकाई वर्गलाई समानान्तर चतुर्भुज \( \begin{pmatrix} 0 & 4 & c & 2 \\ 0 & 1 & 3 & d \end{pmatrix} \)मा स्थानान्तरण गर्दछ भने p, q, c, d का मानहरू पत्ता लगाउनुहोस् ।
If the matrix \( \begin{pmatrix} p & 2 \\ q & 2 \end{pmatrix} \) transforms a unit square to the parallelogram\( \begin{pmatrix} 0 & 4 & c & 2 \\ 0 & 1 & 3 & d \end{pmatrix} \), find the values of p, q, c, d.

विस्तारीकरण E को केन्द्र र नापो क्रमशः (−3,−4) र 2 छन् । R ले रेखा y=0 मा हुने परावर्तन जनाउँछ ।
The centre and scale factor of the enlargement E are (−3,−4) and 2 respectively. R represents the reflection in the line y=0.

(क) संयुक्त स्थानान्तरण EoR ले P(x,y) लाई कुन बिन्दुमा स्थानान्तरण गर्दछ ? पत्ता लगाउनुहोस् ।
In which point the combined transformation EoR transforms a point P(x,y)? Find it.

(ख) शीर्षविन्दुहरू A(2,0), B(3,1) र C(1,1) भएको \( △ABC\ \) लाई संयुक्त स्थानान्तरण EoR प्रयोग गरी स्थानान्तरण गर्नुहोस् ।
Transform the △ABC with vertices A(2,0), B(3,1) and C(1,1) using the combined transformation EoR.

(ग)△ABC र प्रतिविम्बलाई एउटै लेखाचित्रमा प्रस्तुत गर्नुहोस् ।
Present the △ABC and the image in the same graph paper.

संयुक्त फलनलाई परिभाषित गर्नुहोस् ।
Define composite function.

एउटा फलन f(x) कुन अवस्थामा विन्दु x=a मा निरन्तर हुन्छ ? सङ्केतमा लेख्नुहोस् ।
In which condition the function f(x) is continuous at the point x=a? Write in symbol.

मेट्रिक्सहरू A, B र I को क्रम 2×22 छन् । यदि AB=I भए मेट्रिक्स A र मेट्रिक्स B बिचको सम्बन्ध लेख्नुहोस् । जहाँ I एउटा एकाइ मेट्रिक्स हो ।
Order of matrices A, B and I are 2×22 \times 22×2. If AB=I, write the relation between matrix A and matrix B where I is an identity matrix.

यदि मेट्रिक्स \( A = \begin{pmatrix} x & 3 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} \) एउटा एकल मेट्रिक्स भए x को मान पत्ता लगाउनुहोस् ।
If matrix \( A = \begin{pmatrix} x & 3 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} \) is a singular matrix then find the value of x.

हल गर्नुहोस् (Solve):
\( y^3 - 19y - 30 = 0 \)

निम्न लिखित अवस्थामा P=3x+y को अधिकतम मान पत्ता लगाउनुहोस् ।
Find the maximum value of P=3x+y under the following conditions.
\( 2y≤x−1, x+y≤4, x≥0 and y≥0 \)

फलन f(x) = 3x + 2  एउटा वास्तविक फलन हो ।
The function f(x)=3x+2 is a real valued function.

(a) f(2.999) र f(3.001) को मानहरू पत्ता लगाउनुहोस् ।
Find the values of f(2.999)and f(3.001).

(b) के फलन f(x)विन्दु x=3 मा निरन्तर हुन्छ ? कारण दिनुहोस् ।
Is the function f(x) continuous at x=3? Give reason.

क्रामरको नियम प्रयोग गरी हल गर्नुहोस् ।

Solve by using Cramer's rule.
9x−8y=12, 2x+3y=17

शीर्षविन्दुहरू (1,4)(−5,7) र (3,5) भएको त्रिभुजको पहिलो शीर्षविन्दुबाट खिचिएको उचाइको समीकरण पत्ता लगाउनुहोस् ।
Find the equation of the altitude of a triangle having vertices (1,4), (−5,7)and (3,5) drawn from the first vertex.

शीर्षविन्दुहरू A(2,0), B(2,9) र C(6,7)भएको त्रिभुज ABC लाई एउटा 2×2 स्थानान्तरण मेट्रिक्सले शीर्षविन्दुहरू A′(0,2), B′(9,2) र C′(7,6) भएको त्रिभुज A'B'C' मा स्थानान्तरण गर्छ भने स्थानान्तरण गर्ने 2×2 मेट्रिक्स पत्ता लगाउनुहोस् ।

A triangle ABC with vertices A(2,0), B(2,9)B(2, 9)B(2,9) and C(6,7)C(6, 7)C(6,7) is transformed on to the triangle A'B'C' with vertices A′(0,2), B′(9,2)and C′(7,6) by a 2×2 transformation matrix. Find the 2×2 transformation matrix.

यदि \( R_1 \)​ ले y-अक्षमा हुने परावर्तन र \( R_2 \)​ ले उद्गम विन्दुको वरिपरि \( -90^\circ \) मा हुने परिक्रमणलाई जनाउँछन् भने संयुक्त स्थानान्तरण \( R_1 \circ R_2 \)​ ले जनाउने एकल स्थानान्तरण पत्ता लगाउनुहोस् । सोही एकल स्थानान्तरण प्रयोग गरी शीर्षविन्दुहरू A(2,0), B(3,1) र C(1,1)भएको △ABC लाई स्थानान्तरण गर्दा बन्ने प्रतिविम्बको शीर्षविन्दुहरूका निर्देशाङ्कहरू पत्ता लगाउनुहोस् । साथै वस्तु र प्रतिविम्बलाई एउटै लेखाचित्रमा प्रस्तुत गर्नुहोस् ।

If \( R_1​ \) represents the reflection on y-axis and\( R_2 \) represents the rotation about origin through \( -90^\circ \) find the single transformation represented by the combined transformation \( R_1 \circ R_2 \)​. Using the same single transformation, find the co-ordinates of the vertices of image so formed of △ABC with vertices A(2,0), B(3,1)and C(1,1). Also present the object and the image in the same graph paper.

वर्गघातीय फलनको परिभाषा लेख्नुहोस् ।
Write the definition of quadratic function.

गुणोत्तर श्रेणीको nnn ओटा पदहरूको योगफल निकाल्ने सूत्र लेख्नुहोस्, जहाँ समान अनुपात (r)(r)(r) को मान 1 भन्दा बढी छ ।
Write the formula to find the sum of a geometric series having nnn terms, where common ratio (r)(r)(r) is more than 1.

यदि कम 2×2 भएको एउटा वर्ग मेट्रिक्स Aको विपरीत मेट्रिक्स \( A^{-1} भए A.A^{-1} \) वरावर के हुन्छ ? लेख्नुहोस् ।
If the inverse matrix of a square matrix AAA having order 2×2 is \( A^{-1} \), what is equal to \( A.A^{-1}. \)? Write it.

असमानता 2x + y ≤ 3 को लेखाचित्र खिच्नुहोस्।
Draw the graph of the inequality 2x + y ≤ 3.

समीकरणहरू 2x − y = 5 र x − 2y = 1 बाट क्रामरको नियम प्रयोग गरी Dₓ र \( D_y \) का मानहरू पत्ता लगाउनुहोस्।
Find the values of Dₓ and \( D_y \) using Crammer’s rule from the equations 2x − y = 5 and x − 2y = 1.

यदि समीकरणहरू cx + dy + e = 0 र fx + gy + h = 0 भएको दुई रेखाहरू आपसमा समानान्तर भए cg − df = 0 हुन्छ भनी प्रमाणित गर्नुहोस्।
If two lines having equations cx + dy + e = 0 and fx + gy + h = 0 are parallel to each other then prove that cg − df = 0.

मेट्रिक्स विधिबाट हल गर्नुहोस् (Solve by matrix method):
\( x = \dfrac{2}{3}y \) and 4x−3y=1

शीर्षबिन्दुहरू P(4, 3), Q(−2, 0) र R(5, 2) भएको एउटा त्रिभुज PQR लाई T = (2, 2) ले विस्थापन गरिएको छ र प्राप्त प्रतिबिम्बलाई उद्गम बिन्दुको वरिपरि ऋणात्मक दिशामा 90° द्वारा परिक्रमण गरिएको छ। प्राप्त प्रतिबिम्बहरूको शीर्षबिन्दुहरूको निर्देशाङ्कहरू पत्ता लगाउनुहोस् र दिइएको त्रिभुज र प्रतिबिम्बहरूलाई एउटै लेखाचित्रमा खिच्नुहोस्।
A triangle PQR with vertices P(4, 3), Q(−2, 0) and R(5, 2) is translated by T = (2, 2) and the image so obtained is rotated through 90° in negative direction about origin. Find the co-ordinates of the vertices of the obtained images. Plot the given triangle and the images in the same graph paper.

यदि एउटा गुणोत्तर श्रेणीको पहिलो पद 'a' र समान अनुपात 'r' भए n औं पद कति हुन्छ ? लेख्नुहोस् ।
If the first term of a geometric series is 'a' and the common ratio is 'r', what is the nth term? Write it.

\( sinA \) लाई \( \tan\frac{A}{2} \)​ को रूपमा व्यक्त गर्नुहोस् ।
Express sinA in terms of \( \tan\frac{A}{2} \).

cos⁡(A−B)−cos⁡(A+B)लाई गुणनफलको रूपमा व्यक्त गर्नुहोस् ।
Express cos⁡(A−B)−cos⁡(A+B) as a product.

असमानता \( 2x+y≤2 \) लाई लेखा चित्रमा देखाउनुहोस् ।
Show the inequality \( 2x+y≤2 \)in the graph paper.

क्याल्कुलेटर र त्रिकोणमितीय तालिका प्रयोग नगरी प्रमाणित गर्नुहोस् :
Without using calculator and trigonometric table prove that:

\( \sin 75^\circ \cdot \cos 15^\circ = \frac{2 + \sqrt{3}}{4} \)

हल गर्नुहोस् (Solve): \( sin2x−sinx=0 (0∘≤x≤90∘) \)

प्रमणित गर्नुहोस् (Prove that):\( 4\sin^3\theta \cdot \cos 3\theta + 4\cos^3\theta \cdot \sin 3\theta = 3\sin 4\theta \)

यदि \( P + Q + R = 180^\circP \) भए प्रमाणित गर्नुहोस् :
If \( P + Q + R = 180^\circP \), prove that:

sin⁡(P+Q−R)+sin⁡(Q+R−P)+sin⁡(R+P−Q)=4sin⁡P⋅sin⁡Q⋅sin⁡R

sin3A लाई sin A को रूपमा लेख्नुहोस् ।
Express sin 3Ain terms of sin A.

sin⁡A−sin⁡B  लाई गुणनफलको रूपमा व्यक्त गर्नुहोस् ।
Express sin⁡A−sin⁡B in the product form.

यदि f(x)= \( x^3 + mx^2 - x + 7 \) लाई x−3 ले भाग गर्दा शेष 4 रहन्छ भने m को मान शेष साध्य प्रयोग गरी पत्ता लगाउनुहोस् ।
If f(x)= \( x^3 + mx^2 - x + 7 \) is divided by x−3, the remainder is 4. Find the value of m using remainder theorem.

प्रमाणित गर्नुहोस् (Prove that):
\( \dfrac{\sin 50^\circ - \sin 30^\circ}{\cos 30^\circ - \cos 50^\circ} = \cot 40^\circcos \)

यदि \( 3\tan^2\theta - 9 = 0 \) भए θ को मान पत्ता लगाउनुहोस् । (\( (0^\circ \leq \theta \leq 90^\circ) \)
If \( 3\tan^2\theta - 9 = 0 \) then find the value of θ. \( (0^\circ \leq \theta \leq 90^\circ) \)

प्रमाणित गर्नुहोस् (Prove that):
\( \dfrac{\cos^2 A - \sin^2 B}{\sin A \cdot \cos A + \sin B \cdot \cos B} = \cot(A + B) \)

यदि \( A + B + C = 180^\circ \) भए प्रमाणित गर्नुहोस्:
If \( A + B + C = 180^\circ \) then prove that:
\( \cos A + \cos B + \cos C = 1 + 4\sin\dfrac{A}{2} \cdot \sin\dfrac{B}{2} \cdot \sin\dfrac{C}{2} \)

\( cos⁡A \) लाई\( \tan\frac{A}{2} \)  को रूपमा व्यक्त गर्नुहोस् ।
Express cos A  in terms of \( \tan\frac{A}{2} \).

8.2sin⁡A⋅cos⁡Bलाई sine अथवा cosine को योग वा अन्तरको रूपमा व्यक्त गर्नुहोस् ।
Express 2sin⁡A⋅cos⁡B in the form of sum or difference of sine or cosine.

यदि फलन f(x)=2x+3 भए \( f^{-1}(3) \) को मान पत्तालगाउनुहोस् ।
If function f(x)=2x+3, then find the value of \( f^{-1}(3). \)

प्रमाणित गर्नुहोस् (Prove that):
tan⁡A+cot⁡A=2csc ⁡2 A

हल गर्नुहोस् (Solve):\( (0^\circ \leq \theta \leq 90^\circ) \).
\( 4\sin\theta = \csc\theta \)

प्रमाणित गर्नुहोस् (Prove that):
\( \frac{\sin A \cdot \cos A - \sin B \cdot \cos B}{\cos^2 B - \cos^2 A} = \cot(A + B) \)

यदि\( A + B + C = 180^\circ \) भए प्रमाणित गर्नुहोस् ।
If \( A + B + C = 180^\circ \), then prove that:
\( \cos^2\frac{A}{2} + \cos^2\frac{B}{2} + \cos^2\frac{C}{2} = 2 + 2\sin\frac{A}{2} \cdot \sin\frac{B}{2} \cdot \sin\frac{C}{2} \)

\( \cos 2A \) लाई cos A को रूपमा व्यक्त गर्नुहोस् ।
Express cos⁡2A in terms of cos A.

\( \sin C - \sin D \)लाई Sine र Cosine को गुणनफलको रूपमा लेख्नुहोस् ।
Write \( sin⁡C−sin⁡D\ \) in terms of product of sine and cosine.

प्रमाणित गर्नुहोस् (Prove that):

\( \dfrac{\sin\theta + \sin\dfrac{\theta}{2}}{\cos\theta + \cos\dfrac{\theta}{2} + 1} = \tan\dfrac{\theta}{2} \)

यदि g(x)=4x−17,\( f(x) = \dfrac{2x+8}{5} \)र \( g \circ g(x) = f^{-1}(x) \) भए x को मान पत्ता लगाउनुहोस् ।
If g(x)=4x−17, \( f(x) = \dfrac{2x+8}{5}  \) and \( g \circ g(x) = f^{-1}(x) \), find the value of x.

यदि फलन \( f(x) = \begin{cases} 2x + 4 & \text{for } x < 3 \\ 4x - 2 & \text{for } x \geq 3 \end{cases} \)परिभाषित छ भने के फलन f(x)=3 मा निरन्तरता हुन्छ ? कारणसहित लेख्नुहोस् ।
If the function \( f(x) = \begin{cases} 2x + 4 & \text{for } x < 3 \\ 4x - 2 & \text{for } x \geq 3 \end{cases}​ \) is defined, is the function f(x) continuous at x=3? Give reason.

प्रमाणित गर्नुहोस् (Prove that):\( \cot\!\left(\dfrac{A}{2} + \dfrac{\pi^c}{4}\right) - \tan\!\left(\dfrac{A}{2} - \dfrac{\pi^c}{4}\right) = \dfrac{2\cos A}{1 + \sin A} \)

यदि \( A + B + C = \pi^c \) भए प्रमाणित गर्नुहोस् :
If \( A + B + C = \pi^c \) then prove that:
\( \cos A + \cos B - \cos C = 4\cos\dfrac{A}{2}.\cos\dfrac{B}{2}.\sin\dfrac{C}{2} - 1 \)

हल गर्नुहोस् (Solve): √3 tan A − 1 = 0 (0° ≤ A ≤ 180°)

y=sinx को अधिकतम मान कति हुन्छ ? लेख्नुहोस् ।
What is the maximum value of y=sinx ? Write it.

एउटा धरहराको टुप्पोबाट त्यसको ठिक अगाडि रहेको 20 मिटर अग्लो एउटा खम्बाको टुप्पो र फेदमा हेर्दा अवनती कोणहरू क्रमश: \( 30^\circ र 60^\circ \)पाइयो भने धरहराको उचाइ पत्ता लगाउनुहोस् ।
The angles of depression of the top and bottom of a pole 20 m high observed from the top of a tower are found to be \( 30^\circ and60^\circ \) respectively. Find the height of the tower.

एउटा वर्ग PQRS को शीर्षविन्दुहरू P र R का निर्देशाङ्कहरू क्रमश: (3,7) र (−1,3) छन् भने विकर्ण QS को समीकरण पत्ता लगाउनुहोस् ।
The co-ordinates of vertices P and R of a square PQRS are (3,7) and (−1,3) respectively. Find the equation of diagonal QS.

R ले रेखा y=−x मा हुने परावर्तन र S ले उद्गमविन्दु वरिपरि \( 180^\circ \) मा हुने परिक्रमणलाई जनाउँछ भने संयुक्त स्थानान्तरण RoS ले जनाउने एकल स्थानान्तरण पत्ता लगाउनुहोस् । सोही एकल स्थानान्तरण प्रयोग गरी शीर्षविन्दुहरू A(1,2),B(−4,3) र C(3,5) भएको △ABC लाई स्थानान्तरण गर्दा बन्ने प्रतिविम्बको शीर्षविन्दुहरूका निर्देशाङ्कहरू पत्ता लगाउनुहोस् । साथै △ABC र यसको प्रतिविम्बलाई एउटै लेखा चित्रमा प्रस्तुत गर्नुहोस् ।
R denotes the reflection on the line y=−xand S denotes the rotation about origin through 180∘180^\circ180∘. Find the single transformation represented by combined transformation RoS. Using the same single transformation, find the co-ordinates of the vertices of the image of △ABC having vertices A(1,2), B(−4,3) and C(3,5). Also present △ABC and its image on the same graph paper.

यदि दुई रेखाहरूको भुकावहरू क्रमशः \( m_1 \)​ र \( m_2 \)​ भए कुन अवस्थामा ती रेखाहरू आपसमा लम्ब हुन्छन् ? लेख्नुहोस् ।
If the slopes of two lines are m1m_1m1​ and m2m_2m2​ respectively, then in which condition these two lines are perpendicular to each other? Write it.

एउटा सोलीलाई समतलीय सतहले उक्त सोलीको आधारसँग समानान्तर हुने गरी प्रतिच्छेदन गर्दा कस्तो ज्यामितीय आकृति बन्दछ ? लेख्नुहोस् ।
Which geometrical figure is formed if a plane surface intersects a cone parallel to its base? Write it.

उत्क्रम वृत्तमा अर्धव्यास 'r' र केन्द्र विन्दु 'O' छ । यदि विन्दु A को प्रतिविम्ब A' भए OA×OA′  बराबर कति हुन्छ ? लेख्नुहोस् ।
The radius of the inversion circle is 'r' and the centre is 'O'. If the image of a point A is A', what is equal to OA×OA′ ?  Write it.

असमानता \( x−y≥2 \) लाई लेखाचित्रमा प्रस्तुत गर्नुहोस् ।

Present the inequality\( x−y≥2 \) in the graph.

यदि समीकरणहरू 3x−y+7=0  र kx+2y+8=0 भएका दुई रेखाहरू समानान्तर भए k को मान पत्ता लगाउनुहोस् ।
If two lines having equations 3x−y+7=0and kx+2y+8=0  are parallel, find the value of k.

वर्ग समीकरण \( x^2 + 2x - 3 = 0 \) लाई लेखाचित्र विधिबाट हल गर्नुहोस् ।
Solve quadratic equation \( x^2 + 2x - 3 = 0 \)  by graphical method.

वृत्त \( x^2 + y^2 + 4x - 6y - 36 = 0 \)  को केन्द्र विन्दु भएर जाने र केन्द्रविन्दु (3,5) भएको वृत्तको समीकरण पत्ता लगाउनुहोस् ।
Find the equation of a circle having centre (3,5)  and passing through the centre of the circle \( x^2 + y^2 + 4x - 6y - 36 = 0 \).

एक जना अवलोकन कर्ताले 20 मि.अग्लो घरको छतबाट टेलिभिजन टावरको टुप्पो र फेदलाई अवलोकन गर्दा उन्नतांश कोण र अवनति कोण क्रमशः\( 45^\circ \) र\( 30^\circ \) पाएछ भने उक्त टावरको उचाई पत्ता लगाउनुहोस् ।
An observer observes from the roof of the house 20 m high to the top and bottom of the television tower and found the angle of elevation and angle of depression to be \( 45^\circ \) and \( 30^\circ \) respectively. Find the height of the tower.

तीनओटा सङ्ख्याहरू समानान्तर श्रेणीमा छन् र ती सङ्ख्याहरूको योगफल 15 छ । यदि पहिलो र तेस्रो सङ्ख्या बिचको गुणोत्तर मध्यमा 4 छ भने ती सङ्ख्याहरू पत्ता लगाउनुहोस् ।
Three numbers are in arithmetic series and the sum of these numbers is 15. If a geometric mean between the first and third number is 4 then find the numbers.

समीकरण \( x^2 + 2xy\sec\alpha + y^2 = 0 \)ले प्रतिनिधित्व गर्ने एक जोडा रेखाहरूको बेग्लाबेग्लै समीकरण पत्ता लगाउनुहोस् । साथै ती रेखाहरू बिचको कोण पनि पत्ता लगाउनुहोस् ।
Find the separate equation of a pair of lines represented by the equation \( x^2 + 2xy\sec\alpha + y^2 = 0 \). Also find the angle between them.

\( ax^2 + 2hxy + by^2 = 0 \) ले एक जोडा सीधा रेखाहरूलाई प्रतिनिधित्व गर्छ भने कुन अवस्थामा ती रेखाहरू आपसमा लम्ब हुन्छन्, लेख्नुहोस् ।
\( ax^2 + 2hxy + by^2 = 0 \)represents a pair of straight lines. In which condition these lines are perpendicular to each other? Write it.

समतलीय सतहले सोलीलाई प्रतिच्छेदन गर्दा समतलीय सतहले सोलीको अक्षसँग बनाएको कोण (θ) र सोलीको अर्धशीर्षकोण (α) वरावर भएको अवस्थामा कस्तो ज्यामितीय आकृति बन्दछ, लेख्नुहोस् ।
If the angle (θ) made by the plane surface with the axis of cone is equal to the semi-vertical angle (α) of the cone when the plane intersects the cone, what type of geometrical figure is formed? Write it.

यदि उत्क्रम वृत्तको केन्द्र (h,k) र अर्धव्यास 'r' भए विन्दु p(x,y) को उत्क्रम विन्दुको निर्देशाङ्कहरू लेख्नुहोस् ।
If the centre of inversion circle is (h,k) and radius 'r' then write the co-ordinates of the inversion point of the point p(x,y).

समीकरण \( y = 2x^2 - 4x + 7y=2 \)   बाट बन्ने परावोलाको समिमतीय रेखाको समीकरण पत्ता लगाउनुहोस् ।
Find the equation of line of symmetry of the parabola formed by the equation \( y = 2x^2 - 4x + 7 \).

यदि \( (k + 3)x^2 + 2(k - 3)xy + (k - 3)y^2 = 0 \) ले प्रतिनिधित्व गर्ने एक जोडा रेखाहरू आपसमा सम्पाती छन् भने k को मान पत्ता लगाउनुहोस् ।
If a pair of lines represented by \( (k + 3)x^2 + 2(k - 3)xy + (k - 3)y^2 = 0 \) are coincident to each other, find the value of k.

एउटा रूखको टुप्पोलाई एउटै समतल र रूखको एकैतिर परेका दुई विन्दुहरूबाट हेर्दा उन्नतांश कोणहरू क्रमश: \( 30^\circ \) र \( 45^\circ \) पाइएछ । यदि ती दुई विन्दुबिचको दुरी 20 मिटर भए रूखको उचाइ पत्ता लगाउनुहोस् ।
When the top of a tree is observed from two points lying on the same plane and same side of the tree then the angles of elevation are found to be\( 30^\circ \) and \( 45^\circ \) respectively. If the distance between the two points is 20 m, then find the height of the tree.

A र B समकेन्द्रित दुई वृत्तहरू छन् र वृत्त B को अर्धव्यास वृत्त A को अर्धव्यासको आधा छ । यदि वृत्त A को समीकरण\( x^2 + y^2 - 6x + 2y - 6 = 0 \) भए वृत्त B को समीकरण पत्ता लगाउनुहोस् ।
A and B are two concentric circles and radius of circle B is half of the radius of circle A. If the equation of circle A is \( x^2 + y^2 - 6x + 2y - 6 = 0 \), then find the equation of circle B.

दुई सरल रेखाहरूका भुकावहरू क्रमशः \( m_1र m_2 \) छन् । तिनीहरू विचको कोण पत्ता लगाउने सूत्र लेख्नुहोस् ।
The slopes of two straight lines are m1m_1m1​ and m2m_2m2​ respectively. Write the formula to find the angle between them.

एउटा सोलीलाई समतलीय सतहले कुन अवस्थामा प्रतिच्छेदन गर्दा पारावोला बन्दछ ? लेख्नुहोस् ।
In which condition a plane surface intersects a cone to form a parabola? Write it.

यदि केन्द्रबिन्दु O र अर्धव्यास r भएको वृत्तमा बिन्दु P को उत्क्रम बिन्दु P′ छ भने \( OP×OP′ \) वरावर कति हुन्छ ? लेख्नुहोस् ।
If inversion point of a point P is P′ in a circle with centre O and radius r, what is equal to\( OP \times OP' \)? Write it.

यदि बहुपदीय f(x) = x³ − 5x² + (k + 1)x + 8 को एउटा गुणन खण्ड (x − 2) भए k को मान पत्ता लगाउनुहोस्।
If one factor of polynomial f(x) = x³ − 5x² + (k + 1)x + 8 is (x − 2), find the value of k.

लेखाचित्रद्वारा हल गर्नुहोस् (Solve graphically):\( x^2 + x - 2 = 0 \)

वृत्त x² + y² − 10x + 4y + 13 = 0 को केन्द्र भएर जाने र केन्द्रबिन्दु (2, 3) भएको वृत्तको समीकरण पत्ता लगाउनुहोस्।
Find the equation of the circle whose centre is (2, 3) and passes through the centre of the circle x² + y² − 10x + 4y + 13 = 0.

एउटा धरहराको टुप्पो र फेदबाट त्यसको ठिक अगाडि रहेको 10 मी. अग्लो गजुर सहितको एउटा मन्दिरको गजुरमा हेर्दा अवनति कोण र उन्नतांश कोण क्रमशः 60° र 30° पाइएछ भने धरहराको उचाई पत्ता लगाउनुहोस्।
The angles of depression and elevation of the pinnacle of a temple 10m high with pinnacle are found to be 60° and 30° respectively from the top and bottom of a tower. Find the height of the tower.

यदि मेट्रिक्स\( \begin{bmatrix} a & 2 \\ b & 2 \end{bmatrix} \) ले एकाइ वर्गलाई समानान्तर चतुर्भुज\( \begin{bmatrix} 0 & 4 & c & 2 \\ 0 & 1 & 3 & d \end{bmatrix} \) मा स्थानान्तरण गर्दछ भने a, b, c र d का मानहरू पत्ता लगाउनुहोस् ।
If the matrix \( \begin{bmatrix} a & 2 \\ b & 2 \end{bmatrix} \)transforms a unit square to the parallelogram \( \begin{bmatrix} 0 & 4 & c & 2 \\ 0 & 1 & 3 & d \end{bmatrix} \) then find the values of a, b, c and d.

समीकरण x² − 2xy csc θ + y² = 0 ले प्रतिनिधित्व गर्ने एक जोडा रेखाहरूको बेग्लाबेग्लै समीकरण पत्ता लगाउनुहोस्। साथै ती रेखाहरू बिचको कोण पनि पत्ता लगाउनुहोस्।
Find the separate equations of a pair of lines represented by the equation x² − 2xy csc θ + y² = 0. Also find the angle between them.

केन्द्रबिन्दु O भएको अर्ध वृत्तको व्यास PQ र उक्त अर्धवृत्तको परिधिमा रहेको एउटा बिन्दु M छ। भेक्टर विधिबाट प्रमाणित गर्नुहोस्: ∠PMQ = 90°
PQ is the diameter of semi-circle with centre O and M is a point on the circumference of the semi-circle. Prove by vector method that: ∠PMQ = 90°

तल दिइएको तथ्याङ्कको पहिलो चतुर्थांश 16.25 भए चतुर्थांशीय भिन्नता पत्ता लगाउनुहोस् :
Calculate the quartile deviation of the data given below where the first quartile is 16.25.

दिइएको तथ्याङ्कबाट स्तरीय भिन्नता निकाल्नुहोस् :
Calculate the standard deviation from the given data.

यदि एउटा समानान्तरीय श्रेणीको पहिलो पद 'a', समान अन्तर 'd' र पदहरूको सङ्ख्या 'n' भए सो श्रेणीको पहिलो n ओटा पदहरूको योगफल पत्ता लगाउने सूत्र लेख्नुहोस् ।
If the first term of an arithmetic series is 'a', common difference 'd' and the number of terms 'n' then write the formula to find the sum of the first n terms of the series.

यदि कुनै तथ्याङ्कको पहिलो चतुर्थांश\( (Q_1) \) को मान 43 र चतुर्थांशीय भिन्नता (Q.D.) 6.5 छ भने चतुर्थांशीय भिन्नताको गुणाङ्क पत्ता लगाउनुहोस् ।
If the value of first quartile\( (Q_1) \) of any data is 43 and the quartile deviation (Q.D.) is 6.5, find the coefficient of quartile deviation.

दिइएको तथ्याङ्कको मध्यकबाट मध्यक भिन्नता पत्ता लगाउनुहोस् ।

Find the mean deviation from mean of the given data.

दिइएको तथ्याङ्कबाट बीचरणशीलताको गुणाङ्क पत्ता लगाउनुहोस् ।

Find the coefficient of variation from the given data.

यदि\( S_n = \frac{n}{2}(a + l) \) समानान्तरीय श्रेणीको योगफल पत्ता लगाउने सूत्र भए l ले के जनाउँछ, लेख्नुहोस् ।
\( S_n = \frac{n}{2}(a + l) \) represents the formula to find the sum of arithmetic series, what does lll represent? Write it.

एउटा निरन्तर श्रेणीमा मध्यिका \( (M_d) = 40 ∑f=50\ \) र \( ∑f∣m−Md∣=530 \) छन् भने मध्यक भिन्नताको गुणाङ्क पत्ता लगाउनुहोस् ।
In a continuous series, median \( (M_d) = 40, ∑f=50\ \) and \( \sum f|m - M_d| = 530 \). Find the coefficient of mean deviation.

दिइएको तथ्याङ्कको तेस्रो चतुर्थांश 38.75 भए चतुर्थांशीय भिन्नता गणना गर्नुहोस् :

Calculate the quartile deviation of the given data when the third quartile is 38.75.

गुणोत्तर श्रेणीमा भएका पहिलो तीनओटा पदहरूको गुणनफल 1000 छ । यदि पहिलो पदलाई स्थिर राखेर दोस्रो र तेस्रो पदहरूमा क्रमश: 6 र 7 जोड्दा ती पदहरू समानान्तरीय श्रेणीमा हुन्छन् भने गुणोत्तर श्रेणीमा भएका ती पदहरू पत्ता लगाउनुहोस् ।
The product of first three terms of a geometric series is 1000. If keeping the first term constant and 6 and 7 be added to the second and third terms respectively, the terms are in the arithmetic series. Find the terms which are in geometric series.

एउटा निरन्तर श्रेणीमा पहिलो चतुर्थांशको दुई गुणा तेस्रो चतुर्थांश छ। यदि पहिलो चतुर्थांश र तेस्रो चतुर्थांशको योगफल 90 भए चतुर्थांशीय विचलन पत्ता लगाउनुहोस्।
In a continuous series, third quartile is two times of the first quartile. If the sum of the first quartile and third quartile is 90, find the quartile deviation.

दिइएको तथ्याङ्कको मध्यिकाबाट मध्यक भिन्नता पत्ता लगाउनुहोस् ।

Find the mean deviation from median of the given data.

दिइएको तथ्याङ्कबाट स्तरीय भिन्नता पत्ता लगाउनुहोस् ।

Find the standard deviation from the given data:

एउटा समानान्तर श्रेणीमा रहेका तीन ओटा सङ्ख्याहरूको योगफल 18 छ । यदि पहिलो र तेस्रो सङ्ख्याहरू विचको गुणोत्तर मध्यमा \( 4\sqrt{2} \) भए ती सङ्ख्याहरू पत्ता लगाउनुहोस् ।
The sum of three numbers in an arithmetic series is 18. If the geometric mean between the first and third numbers is \( 4\sqrt{2} \), then find the numbers.

भेक्टरहरू \( \vec{a} \) र \( \vec{b} \) बिचको कोण\( \theta \) पत्ता लगाउने सूत्र लेख्नुहोस् ।
Write the formula to find the angle θ between the vectors\( \vec{a} \) and \( \vec{b} \)

भेक्टरहरू \( 3\vec{i} + 4\vec{j}+ \)र \( 8\vec{i} - 6\vec{j} \)​ बिचको कोण पत्ता लगाउनुहोस् ।
Find the angle between the vectors \( 3\vec{i} + 4\vec{j} \)and \( 8\vec{i} - 6\vec{j} \).

समवाहु चतुर्भुज MNOP को विकर्णहरू आपसमा लम्ब हुन्छन् भनी भेक्टरविधिद्वारा प्रमाणित गर्नुहोस् ।
Prove by vector method that the diagonals of rhombus MNOP are perpendicular to each other.

यदि Y-अक्षतिरको एकाई भेक्टर \( \vec{J} \) भए \( (\vec{J})^2 \) को मान कति हुन्छ ? लेख्नुहोस् ।
If \( \vec{J} \) is a unit vector along Y-axis, what is the value of \( (\vec{J})^2 \)? Write it.

यदि \( \vec{a} \cdot \vec{b} \)= 48 , \( |\vec{a}| = 6\sqrt{2} \) र \( |\vec{b}| = 8 \) भए \( \vec{a} र \vec{b} \) बिचको कोण पत्ता लगाउनुहोस् ।
If\( \vec{a} \cdot \vec{b} = 48 \), \( |\vec{a}| = 6\sqrt{2} \) and \( |\vec{b}| = 8 \)  then find the angle between \( \vec{a} and \vec{b} \).

समानान्तर चतुर्भुज PQRS का विकर्णहरू PR र QS परस्पर समद्विभाजन हुन्छन् भनि भेक्टर विधिबाट प्रमाणित गर्नुहोस् ।
Prove by vector method that the diagonals PR and QS of a parallelogram PQRS bisect each other.

यदि \( \vec{a} = \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix} \) र\( \vec{b} = \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix} \) भए \( \vec{a} \) र \( \vec{b} \) को स्केलर गुणनफल कति हुन्छ ? लेख्नुहोस् ।
If \( \vec{a} = \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix} \) and\( \vec{b} = \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix} \), what is the scalar product of \( \vec{a} \) and \( \vec{b} \)? Write it.

भेक्टरहरू\( \vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} \) र\( \vec{b} = \begin{pmatrix} 6 \\ -4 \end{pmatrix} \)    बिचको कोण पत्ता लगाउनुहोस् ।
Find the angle between vectors \( \vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} \)and \( \vec{b} = \begin{pmatrix} 6 \\ -4 \end{pmatrix} \).

समानान्तर चतुर्भुज EFGH का विकर्णहरू परस्पर समद्विभाजन हुन्छन् भनी भेक्टर विधिद्वारा प्रमाणित गर्नुहोस् ।
Prove by vector method that the diagonals of a parallelogram EFGH bisect each other.

यदि \( \vec{a} \) र \( \vec{b} \) लम्ब भए \( \vec{a}.\vec{b} \) को मान लेख्नुहोस् ।
If \( \vec{a} \) and \( \vec{b} \)are perpendicular, then write the value of\( \vec{a}.\vec{b} \).

यदि\( |\vec{a}| = 4 \), \( |\vec{b}| = 6 \) र \( \vec{a}.\vec{b} = 12 \) भए \( \vec{a} \) र \( \vec{b} \) विचको कोण पत्ता लगाउनुहोस् ।
If \( |\vec{a}| = 4, \) \( |\vec{b}| = 6 \), and \( \vec{a}.\vec{b} = 12 \) then find angle between\( \vec{a} \) and\( \vec{b} \).

फलन f(x) विन्दु x=a मा निरन्तर हुने अवस्था लेख्नुहोस् ।
Write the condition of the continuity of the function f(x)at the point x=a.

यदि \( f(x) = \frac{2x+5}{3} \)​ र \( g(x) = \frac{x+5}{2} \)मा \( g \circ g(x) = f^{-1}(x) \)भए xxx को मान पत्ता लगाउनुहोस् ।
If \( f(x) = \frac{2x+5}{3} \) and g\( g(x) = \frac{x+5}{2} \) such that \( g \circ g(x) = f^{-1}(x) \), find the value of xxx.

फलन f(x) निम्नानुसार परिभाषित छ ।
Function f(x) is defined as follows.
\( f(x) = \begin{cases} x + 2 & \text{for } x < 2 \\ 4 & \text{for } x = 2 \\ 3x - 2 & \text{for } x > 2 \end{cases} \)
के फलन f(x)f(x)f(x) विन्दु x=2x = 2x=2 मा निरन्तर छ ? कारण दिनुहोस् ।

Is the function f(x) continuous at the point x=2? Give reason.

यदि फलन\( f(x) = \begin{cases} 3x - 1 & \text{for } x \geq 2 \\ x + 3 & \text{for } x < 2 \end{cases} \) ​ परिभाषित छ भने, के फलन f(x), x=2 मा निरन्तरता हुन्छ ? कारण दिनुहोस् ।

If the function \( f(x) = \begin{cases} 3x - 1 & \text{for } x \geq 2 \\ x + 3 & \text{for } x < 2 \end{cases} \)​ is defined, is the function f(x) continuous at x=2? Give reason.

\( .\lim_{x \to a^-} f(x) \)लाई वाक्यमा लेख्नुहोस् ।
Write \( \lim_{x \to a^-} f(x) \) in sentence.