Class 10 Optional Mathematicsकक्षा १० ऐच्छिक गणित — SEE notes & solutions

एकात्मक फलनको परिभाषा लेख्नुहोस् ।
Write the definition of identity function.

यदि a र b दुई धनात्मक सङ्ख्याहरू भए तिनीहरूको समानान्तरीय मध्यमा (AM) र गुणोत्तर मध्यमा (GM) बिचको सम्बन्ध लेख्नुहोस् ।
If a and b are two positive numbers, write the relation between their arithmetic mean (AM) and geometric mean (GM).

फलन f(x) विन्दु x=a मा निरन्तर हुने अवस्था लेख्नुहोस् ।
Write the condition of the continuity of the function f(x)at the point x=a.

मेट्रिक्स \( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \) को विपरीत मेट्रिक्स के हुन्छ, लेख्नुहोस् ।
What is the inverse matrix of matrix\( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \)? Write it.

समीकरण \( ax^2 + 2hxy + by^2 = 0 \) ले जनाउने जोडा रेखाहरू कुन अवस्थामा सम्पाती हुन्छन् ? लेख्नुहोस् ।

Under what condition the pair of straight lines represented by equation \( ax^2 + 2hxy + by^2 = 0 \) are coincident? Write it.

कुन अवस्थामा एउटा सोलीलाई समतलीय सतहले प्रतिच्छेदन गर्दा वृत्त बन्छ, लेख्नुहोस् ।
In which condition a circle is formed when a plane surface intersects a cone? Write it.

\( sinA \) लाई \( \tan\frac{A}{2} \)​ को रूपमा व्यक्त गर्नुहोस् ।
Express sinA in terms of \( \tan\frac{A}{2} \).

cos⁡(A−B)−cos⁡(A+B)लाई गुणनफलको रूपमा व्यक्त गर्नुहोस् ।
Express cos⁡(A−B)−cos⁡(A+B) as a product.

भेक्टरहरू \( \vec{a} \) र \( \vec{b} \) बिचको कोण\( \theta \) पत्ता लगाउने सूत्र लेख्नुहोस् ।
Write the formula to find the angle θ between the vectors\( \vec{a} \) and \( \vec{b} \)

विपरीत स्थानान्तरणमा यदि विन्दु P उत्क्रम वृत्तको केन्द्रविन्दुमा पर्दछ भने P को प्रतिविम्ब P' कहाँ पर्दछ, लेख्नुहोस् ।
In an inversion transformation, if a point P lies at the centre of inversion circle then where does its image P' lie? Write it.

यदि बहुपदीय p(y)=\( p(y) = y^3 - 2ay^2 + ay - 2 \) को एउटा गुणन खण्ड y−2y - 2y−2 भए a को मान पत्ता लगाउनुहोस् ।
If y−2y - 2y−2 is a factor of polynomial p(y)=y3−2ay2+ay−2p(y) = \( p(y) = y^3 - 2ay^2 + ay - 2 \) find the value of a.

असमानता \( 2x+y≤2 \) लाई लेखा चित्रमा देखाउनुहोस् ।
Show the inequality \( 2x+y≤2 \)in the graph paper.

यदि समीकरणहरू ax−5y=3 र 4x+3y=4 मा D=26  भए क्रामरको नियम प्रयोग गरी 'a' को मान पत्ता लगाउनुहोस् ।
If the equations ax−5y=3 and 4x+3y=4  have D=26, find the value of 'a' using Cramer's rule.

समीकरण \( 6x^2 + 5xy - 6y^2 - 3x + 2y = 0 \) ले प्रतिनिधित्व गर्ने जोडा रेखाहरूको छुट्टा छुट्टै समीकरण पत्ता लगाउनुहोस् ।
Find the separate equation of the pair of lines represented by the equation \( 6x^2 + 5xy - 6y^2 - 3x + 2y = 0. \)

क्याल्कुलेटर र त्रिकोणमितीय तालिका प्रयोग नगरी प्रमाणित गर्नुहोस् :
Without using calculator and trigonometric table prove that:

\( \sin 75^\circ \cdot \cos 15^\circ = \frac{2 + \sqrt{3}}{4} \)

हल गर्नुहोस् (Solve): \( sin2x−sinx=0 (0∘≤x≤90∘) \)

भेक्टरहरू \( 3\vec{i} + 4\vec{j}+ \)र \( 8\vec{i} - 6\vec{j} \)​ बिचको कोण पत्ता लगाउनुहोस् ।
Find the angle between the vectors \( 3\vec{i} + 4\vec{j} \)and \( 8\vec{i} - 6\vec{j} \).

एउटा निरन्तर श्रेणीमा \( ∑f∣m−xˉ∣=1134 \)  N =100  र मध्यक (xˉ)=40 भए मध्यक भिन्नता र यसको गुणाङ्क पत्ता लगाउनुहोस् ।
In a continuous series if \( ∑f∣m−xˉ∣=1134 \), N=100  and mean (xˉ)=40, find the mean deviation and its coefficient.

यदि \( f(x) = \frac{2x+5}{3} \)​ र \( g(x) = \frac{x+5}{2} \)मा \( g \circ g(x) = f^{-1}(x) \)भए xxx को मान पत्ता लगाउनुहोस् ।
If \( f(x) = \frac{2x+5}{3} \) and g\( g(x) = \frac{x+5}{2} \) such that \( g \circ g(x) = f^{-1}(x) \), find the value of xxx.

लेखाचित्र विधिद्वारा हल गर्नुहोस् (Solve graphically): \( y = x^2 \) and  y=2x+3 . 

फलन f(x) निम्नानुसार परिभाषित छ ।
Function f(x) is defined as follows.
\( f(x) = \begin{cases} x + 2 & \text{for } x < 2 \\ 4 & \text{for } x = 2 \\ 3x - 2 & \text{for } x > 2 \end{cases} \)
के फलन f(x)f(x)f(x) विन्दु x=2x = 2x=2 मा निरन्तर छ ? कारण दिनुहोस् ।

Is the function f(x) continuous at the point x=2? Give reason.

मेट्रिक्स विधिको प्रयोग गरी हल गर्नुहोस् (Solve by using matrix method):

2x−3y=7 and 3x−4y=10

यदि वृत्त \( x^2 + y^2 - 2x - 10y + 1 = 0 \)को एउटा व्यासको एक छेउको निर्देशाङ्कहरू (1,0) भए अर्को छेउको निर्देशाङ्कहरू पत्ता लगाउनुहोस् ।
If the co-ordinates of one end of a diameter of the circle \( x^2 + y^2 - 2x - 10y + 1 = 0 \) is (1,0) find the co-ordinates of the other end.

प्रमणित गर्नुहोस् (Prove that):\( 4\sin^3\theta \cdot \cos 3\theta + 4\cos^3\theta \cdot \sin 3\theta = 3\sin 4\theta \)

यदि \( P + Q + R = 180^\circP \) भए प्रमाणित गर्नुहोस् :
If \( P + Q + R = 180^\circP \), prove that:

sin⁡(P+Q−R)+sin⁡(Q+R−P)+sin⁡(R+P−Q)=4sin⁡P⋅sin⁡Q⋅sin⁡R

एउटा धरहराको टुप्पोबाट त्यसको ठिक अगाडि रहेको 20 मिटर अग्लो एउटा खम्बाको टुप्पो र फेदमा हेर्दा अवनती कोणहरू क्रमश: \( 30^\circ र 60^\circ \)पाइयो भने धरहराको उचाइ पत्ता लगाउनुहोस् ।
The angles of depression of the top and bottom of a pole 20 m high observed from the top of a tower are found to be \( 30^\circ and60^\circ \) respectively. Find the height of the tower.

शीर्षविन्दुहरू A(3,6), B(4,2) र C(2,2)भएको \( △ABC\ \) लाई x-अक्षमा परावर्तन गर्दा प्राप्त हुने प्रतिविम्ब त्रिभुजको शीर्षविन्दुहरूका निर्देशाङ्कहरू मेट्रिक्स विधिद्वारा पत्ता लगाउनुहोस् ।

Find the co-ordinates of the vertices of image triangle of the △ABC with vertices A(3,6), B(4,2)B(4,2) and C(2,2) under the reflection on the x-axis by matrix method.

तल दिइएको तथ्याङ्कको पहिलो चतुर्थांश 16.25 भए चतुर्थांशीय भिन्नता पत्ता लगाउनुहोस् :
Calculate the quartile deviation of the data given below where the first quartile is 16.25.

दिइएको तथ्याङ्कबाट स्तरीय भिन्नता निकाल्नुहोस् :
Calculate the standard deviation from the given data.

गुणोत्तर श्रेणीमा रहेका तीनओटा क्रमिक सङ्ख्याहरूको योगफल 56 छ । यदि ती सङ्ख्याहरूबाट क्रमश: 1, 7 र 21 घटाउँदा सङ्ख्याहरू समानान्तरीय श्रेणीमा हुन्छन् भने ती सङ्ख्याहरू पत्ता लगाउनुहोस् ।
The sum of three consecutive numbers of a geometric series is 56. If 1, 7 and 21 be subtracted from the numbers respectively, they form an arithmetic series. Find the numbers.

एउटा वर्ग PQRS को शीर्षविन्दुहरू P र R का निर्देशाङ्कहरू क्रमश: (3,7) र (−1,3) छन् भने विकर्ण QS को समीकरण पत्ता लगाउनुहोस् ।
The co-ordinates of vertices P and R of a square PQRS are (3,7) and (−1,3) respectively. Find the equation of diagonal QS.

समवाहु चतुर्भुज MNOP को विकर्णहरू आपसमा लम्ब हुन्छन् भनी भेक्टरविधिद्वारा प्रमाणित गर्नुहोस् ।
Prove by vector method that the diagonals of rhombus MNOP are perpendicular to each other.

R ले रेखा y=−x मा हुने परावर्तन र S ले उद्गमविन्दु वरिपरि \( 180^\circ \) मा हुने परिक्रमणलाई जनाउँछ भने संयुक्त स्थानान्तरण RoS ले जनाउने एकल स्थानान्तरण पत्ता लगाउनुहोस् । सोही एकल स्थानान्तरण प्रयोग गरी शीर्षविन्दुहरू A(1,2),B(−4,3) र C(3,5) भएको △ABC लाई स्थानान्तरण गर्दा बन्ने प्रतिविम्बको शीर्षविन्दुहरूका निर्देशाङ्कहरू पत्ता लगाउनुहोस् । साथै △ABC र यसको प्रतिविम्बलाई एउटै लेखा चित्रमा प्रस्तुत गर्नुहोस् ।
R denotes the reflection on the line y=−xand S denotes the rotation about origin through 180∘180^\circ180∘. Find the single transformation represented by combined transformation RoS. Using the same single transformation, find the co-ordinates of the vertices of the image of △ABC having vertices A(1,2), B(−4,3) and C(3,5). Also present △ABC and its image on the same graph paper.