Class 10 Optional Mathematicsकक्षा १० ऐच्छिक गणित — SEE notes & solutions

वर्गघातीय फलनको परिभाषा लेख्नुहोस् ।
Write the definition of quadratic function.

गुणोत्तर श्रेणीको nnn ओटा पदहरूको योगफल निकाल्ने सूत्र लेख्नुहोस्, जहाँ समान अनुपात (r)(r)(r) को मान 1 भन्दा बढी छ ।
Write the formula to find the sum of a geometric series having nnn terms, where common ratio (r)(r)(r) is more than 1.

\( .\lim_{x \to a^-} f(x) \)लाई वाक्यमा लेख्नुहोस् ।
Write \( \lim_{x \to a^-} f(x) \) in sentence.

यदि कम 2×2 भएको एउटा वर्ग मेट्रिक्स Aको विपरीत मेट्रिक्स \( A^{-1} भए A.A^{-1} \) वरावर के हुन्छ ? लेख्नुहोस् ।
If the inverse matrix of a square matrix AAA having order 2×2 is \( A^{-1} \), what is equal to \( A.A^{-1}. \)? Write it.

दुई सरल रेखाहरूका भुकावहरू क्रमशः \( m_1र m_2 \) छन् । तिनीहरू विचको कोण पत्ता लगाउने सूत्र लेख्नुहोस् ।
The slopes of two straight lines are m1m_1m1​ and m2m_2m2​ respectively. Write the formula to find the angle between them.

एउटा सोलीलाई समतलीय सतहले कुन अवस्थामा प्रतिच्छेदन गर्दा पारावोला बन्दछ ? लेख्नुहोस् ।
In which condition a plane surface intersects a cone to form a parabola? Write it.

\( \cos 2A \) लाई cos A को रूपमा व्यक्त गर्नुहोस् ।
Express cos⁡2A in terms of cos A.

\( \sin C - \sin D \)लाई Sine र Cosine को गुणनफलको रूपमा लेख्नुहोस् ।
Write \( sin⁡C−sin⁡D\ \) in terms of product of sine and cosine.

यदि \( \vec{a} \) र \( \vec{b} \) लम्ब भए \( \vec{a}.\vec{b} \) को मान लेख्नुहोस् ।
If \( \vec{a} \) and \( \vec{b} \)are perpendicular, then write the value of\( \vec{a}.\vec{b} \).

यदि केन्द्रबिन्दु O र अर्धव्यास r भएको वृत्तमा बिन्दु P को उत्क्रम बिन्दु P′ छ भने \( OP×OP′ \) वरावर कति हुन्छ ? लेख्नुहोस् ।
If inversion point of a point P is P′ in a circle with centre O and radius r, what is equal to\( OP \times OP' \)? Write it.

यदि बहुपदीय f(x) = x³ − 5x² + (k + 1)x + 8 को एउटा गुणन खण्ड (x − 2) भए k को मान पत्ता लगाउनुहोस्।
If one factor of polynomial f(x) = x³ − 5x² + (k + 1)x + 8 is (x − 2), find the value of k.

असमानता 2x + y ≤ 3 को लेखाचित्र खिच्नुहोस्।
Draw the graph of the inequality 2x + y ≤ 3.

समीकरणहरू 2x − y = 5 र x − 2y = 1 बाट क्रामरको नियम प्रयोग गरी Dₓ र \( D_y \) का मानहरू पत्ता लगाउनुहोस्।
Find the values of Dₓ and \( D_y \) using Crammer’s rule from the equations 2x − y = 5 and x − 2y = 1.

यदि समीकरणहरू cx + dy + e = 0 र fx + gy + h = 0 भएको दुई रेखाहरू आपसमा समानान्तर भए cg − df = 0 हुन्छ भनी प्रमाणित गर्नुहोस्।
If two lines having equations cx + dy + e = 0 and fx + gy + h = 0 are parallel to each other then prove that cg − df = 0.

प्रमाणित गर्नुहोस् (Prove that):

\( \dfrac{\sin\theta + \sin\dfrac{\theta}{2}}{\cos\theta + \cos\dfrac{\theta}{2} + 1} = \tan\dfrac{\theta}{2} \)

हल गर्नुहोस् (Solve): √3 tan A − 1 = 0 (0° ≤ A ≤ 180°)

यदि\( |\vec{a}| = 4 \), \( |\vec{b}| = 6 \) र \( \vec{a}.\vec{b} = 12 \) भए \( \vec{a} \) र \( \vec{b} \) विचको कोण पत्ता लगाउनुहोस् ।
If \( |\vec{a}| = 4, \) \( |\vec{b}| = 6 \), and \( \vec{a}.\vec{b} = 12 \) then find angle between\( \vec{a} \) and\( \vec{b} \).

एउटा निरन्तर श्रेणीमा पहिलो चतुर्थांशको दुई गुणा तेस्रो चतुर्थांश छ। यदि पहिलो चतुर्थांश र तेस्रो चतुर्थांशको योगफल 90 भए चतुर्थांशीय विचलन पत्ता लगाउनुहोस्।
In a continuous series, third quartile is two times of the first quartile. If the sum of the first quartile and third quartile is 90, find the quartile deviation.

यदि g(x)=4x−17,\( f(x) = \dfrac{2x+8}{5} \)र \( g \circ g(x) = f^{-1}(x) \) भए x को मान पत्ता लगाउनुहोस् ।
If g(x)=4x−17, \( f(x) = \dfrac{2x+8}{5}  \) and \( g \circ g(x) = f^{-1}(x) \), find the value of x.

लेखाचित्रद्वारा हल गर्नुहोस् (Solve graphically):\( x^2 + x - 2 = 0 \)

यदि फलन \( f(x) = \begin{cases} 2x + 4 & \text{for } x < 3 \\ 4x - 2 & \text{for } x \geq 3 \end{cases} \)परिभाषित छ भने के फलन f(x)=3 मा निरन्तरता हुन्छ ? कारणसहित लेख्नुहोस् ।
If the function \( f(x) = \begin{cases} 2x + 4 & \text{for } x < 3 \\ 4x - 2 & \text{for } x \geq 3 \end{cases}​ \) is defined, is the function f(x) continuous at x=3? Give reason.

मेट्रिक्स विधिबाट हल गर्नुहोस् (Solve by matrix method):
\( x = \dfrac{2}{3}y \) and 4x−3y=1

वृत्त x² + y² − 10x + 4y + 13 = 0 को केन्द्र भएर जाने र केन्द्रबिन्दु (2, 3) भएको वृत्तको समीकरण पत्ता लगाउनुहोस्।
Find the equation of the circle whose centre is (2, 3) and passes through the centre of the circle x² + y² − 10x + 4y + 13 = 0.

प्रमाणित गर्नुहोस् (Prove that):\( \cot\!\left(\dfrac{A}{2} + \dfrac{\pi^c}{4}\right) - \tan\!\left(\dfrac{A}{2} - \dfrac{\pi^c}{4}\right) = \dfrac{2\cos A}{1 + \sin A} \)

यदि \( A + B + C = \pi^c \) भए प्रमाणित गर्नुहोस् :
If \( A + B + C = \pi^c \) then prove that:
\( \cos A + \cos B - \cos C = 4\cos\dfrac{A}{2}.\cos\dfrac{B}{2}.\sin\dfrac{C}{2} - 1 \)

एउटा धरहराको टुप्पो र फेदबाट त्यसको ठिक अगाडि रहेको 10 मी. अग्लो गजुर सहितको एउटा मन्दिरको गजुरमा हेर्दा अवनति कोण र उन्नतांश कोण क्रमशः 60° र 30° पाइएछ भने धरहराको उचाई पत्ता लगाउनुहोस्।
The angles of depression and elevation of the pinnacle of a temple 10m high with pinnacle are found to be 60° and 30° respectively from the top and bottom of a tower. Find the height of the tower.

यदि मेट्रिक्स\( \begin{bmatrix} a & 2 \\ b & 2 \end{bmatrix} \) ले एकाइ वर्गलाई समानान्तर चतुर्भुज\( \begin{bmatrix} 0 & 4 & c & 2 \\ 0 & 1 & 3 & d \end{bmatrix} \) मा स्थानान्तरण गर्दछ भने a, b, c र d का मानहरू पत्ता लगाउनुहोस् ।
If the matrix \( \begin{bmatrix} a & 2 \\ b & 2 \end{bmatrix} \)transforms a unit square to the parallelogram \( \begin{bmatrix} 0 & 4 & c & 2 \\ 0 & 1 & 3 & d \end{bmatrix} \) then find the values of a, b, c and d.

दिइएको तथ्याङ्कको मध्यिकाबाट मध्यक भिन्नता पत्ता लगाउनुहोस् ।

Find the mean deviation from median of the given data.

दिइएको तथ्याङ्कबाट स्तरीय भिन्नता पत्ता लगाउनुहोस् ।

Find the standard deviation from the given data:

एउटा समानान्तर श्रेणीमा रहेका तीन ओटा सङ्ख्याहरूको योगफल 18 छ । यदि पहिलो र तेस्रो सङ्ख्याहरू विचको गुणोत्तर मध्यमा \( 4\sqrt{2} \) भए ती सङ्ख्याहरू पत्ता लगाउनुहोस् ।
The sum of three numbers in an arithmetic series is 18. If the geometric mean between the first and third numbers is \( 4\sqrt{2} \), then find the numbers.

समीकरण x² − 2xy csc θ + y² = 0 ले प्रतिनिधित्व गर्ने एक जोडा रेखाहरूको बेग्लाबेग्लै समीकरण पत्ता लगाउनुहोस्। साथै ती रेखाहरू बिचको कोण पनि पत्ता लगाउनुहोस्।
Find the separate equations of a pair of lines represented by the equation x² − 2xy csc θ + y² = 0. Also find the angle between them.

केन्द्रबिन्दु O भएको अर्ध वृत्तको व्यास PQ र उक्त अर्धवृत्तको परिधिमा रहेको एउटा बिन्दु M छ। भेक्टर विधिबाट प्रमाणित गर्नुहोस्: ∠PMQ = 90°
PQ is the diameter of semi-circle with centre O and M is a point on the circumference of the semi-circle. Prove by vector method that: ∠PMQ = 90°

शीर्षबिन्दुहरू P(4, 3), Q(−2, 0) र R(5, 2) भएको एउटा त्रिभुज PQR लाई T = (2, 2) ले विस्थापन गरिएको छ र प्राप्त प्रतिबिम्बलाई उद्गम बिन्दुको वरिपरि ऋणात्मक दिशामा 90° द्वारा परिक्रमण गरिएको छ। प्राप्त प्रतिबिम्बहरूको शीर्षबिन्दुहरूको निर्देशाङ्कहरू पत्ता लगाउनुहोस् र दिइएको त्रिभुज र प्रतिबिम्बहरूलाई एउटै लेखाचित्रमा खिच्नुहोस्।
A triangle PQR with vertices P(4, 3), Q(−2, 0) and R(5, 2) is translated by T = (2, 2) and the image so obtained is rotated through 90° in negative direction about origin. Find the co-ordinates of the vertices of the obtained images. Plot the given triangle and the images in the same graph paper.