Class 10 Optional Mathematicsकक्षा १० ऐच्छिक गणित — SEE notes & solutions

घनघातीय फलनको परिभाषा लेख्नुहोस् ।
Write the definition of cubic function.

यदि एउटा समानान्तरीय श्रेणीको पहिलो पद 'a', समान अन्तर 'd' र पदहरूको सङ्ख्या 'n' भए सो श्रेणीको पहिलो n ओटा पदहरूको योगफल पत्ता लगाउने सूत्र लेख्नुहोस् ।
If the first term of an arithmetic series is 'a', common difference 'd' and the number of terms 'n' then write the formula to find the sum of the first n terms of the series.

अविच्छिन्न हुने सङ्ख्याहरूको समूहको नाम लेख्नुहोस् ।
Write the name of the set of numbers which is continuous.

कुन अवस्थामा दिइएको मेट्रिक्सको विपरित मेट्रिक्स मान्य हुँदैन ? लेख्नुहोस् ।
In which condition the inverse matrix of the given matrix does not exist? Write it.

यदि दुई रेखाहरूको भुकावहरू क्रमशः \( m_1 \)​ र \( m_2 \)​ भए कुन अवस्थामा ती रेखाहरू आपसमा लम्ब हुन्छन् ? लेख्नुहोस् ।
If the slopes of two lines are m1m_1m1​ and m2m_2m2​ respectively, then in which condition these two lines are perpendicular to each other? Write it.

एउटा सोलीलाई समतलीय सतहले उक्त सोलीको आधारसँग समानान्तर हुने गरी प्रतिच्छेदन गर्दा कस्तो ज्यामितीय आकृति बन्दछ ? लेख्नुहोस् ।
Which geometrical figure is formed if a plane surface intersects a cone parallel to its base? Write it.

sin3A लाई sin A को रूपमा लेख्नुहोस् ।
Express sin 3Ain terms of sin A.

sin⁡A−sin⁡B  लाई गुणनफलको रूपमा व्यक्त गर्नुहोस् ।
Express sin⁡A−sin⁡B in the product form.

यदि Y-अक्षतिरको एकाई भेक्टर \( \vec{J} \) भए \( (\vec{J})^2 \) को मान कति हुन्छ ? लेख्नुहोस् ।
If \( \vec{J} \) is a unit vector along Y-axis, what is the value of \( (\vec{J})^2 \)? Write it.

उत्क्रम वृत्तमा अर्धव्यास 'r' र केन्द्र विन्दु 'O' छ । यदि विन्दु A को प्रतिविम्ब A' भए OA×OA′  बराबर कति हुन्छ ? लेख्नुहोस् ।
The radius of the inversion circle is 'r' and the centre is 'O'. If the image of a point A is A', what is equal to OA×OA′ ?  Write it.

यदि f(x)= \( x^3 + mx^2 - x + 7 \) लाई x−3 ले भाग गर्दा शेष 4 रहन्छ भने m को मान शेष साध्य प्रयोग गरी पत्ता लगाउनुहोस् ।
If f(x)= \( x^3 + mx^2 - x + 7 \) is divided by x−3, the remainder is 4. Find the value of m using remainder theorem.

असमानता \( x−y≥2 \) लाई लेखाचित्रमा प्रस्तुत गर्नुहोस् ।

Present the inequality\( x−y≥2 \) in the graph.

यदि \( D_x = \begin{vmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 6 \end{vmatrix}​​ र D_y = \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ -2 & 7 \end{vmatrix} \)​​ भए x र y का मानहरू पत्ता लगाउनुहोस् ।

If \( D_x = \begin{vmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 6 \end{vmatrix} and D_y = \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ -2 & 7 \end{vmatrix} \)​​ then find the values of x and y.

यदि समीकरणहरू 3x−y+7=0  र kx+2y+8=0 भएका दुई रेखाहरू समानान्तर भए k को मान पत्ता लगाउनुहोस् ।
If two lines having equations 3x−y+7=0and kx+2y+8=0  are parallel, find the value of k.

प्रमाणित गर्नुहोस् (Prove that):
\( \dfrac{\sin 50^\circ - \sin 30^\circ}{\cos 30^\circ - \cos 50^\circ} = \cot 40^\circcos \)

यदि \( 3\tan^2\theta - 9 = 0 \) भए θ को मान पत्ता लगाउनुहोस् । (\( (0^\circ \leq \theta \leq 90^\circ) \)
If \( 3\tan^2\theta - 9 = 0 \) then find the value of θ. \( (0^\circ \leq \theta \leq 90^\circ) \)

यदि \( \vec{a} \cdot \vec{b} \)= 48 , \( |\vec{a}| = 6\sqrt{2} \) र \( |\vec{b}| = 8 \) भए \( \vec{a} र \vec{b} \) बिचको कोण पत्ता लगाउनुहोस् ।
If\( \vec{a} \cdot \vec{b} = 48 \), \( |\vec{a}| = 6\sqrt{2} \) and \( |\vec{b}| = 8 \)  then find the angle between \( \vec{a} and \vec{b} \).

यदि कुनै तथ्याङ्कको पहिलो चतुर्थांश\( (Q_1) \) को मान 43 र चतुर्थांशीय भिन्नता (Q.D.) 6.5 छ भने चतुर्थांशीय भिन्नताको गुणाङ्क पत्ता लगाउनुहोस् ।
If the value of first quartile\( (Q_1) \) of any data is 43 and the quartile deviation (Q.D.) is 6.5, find the coefficient of quartile deviation.

यदि दुईओटा फलनहरू \( f(x) = \dfrac{2x-5}{3} \)   र g(x)=x+4 भए \( (f \circ g)^{-1}(3) \) पत्ता लगाउनुहोस् ।
If two functions are\( f(x) = \dfrac{2x-5}{3} \)   and g(x)=x+4, find \( (f \circ g)^{-1}(3) \).

वर्ग समीकरण \( x^2 + 2x - 3 = 0 \) लाई लेखाचित्र विधिबाट हल गर्नुहोस् ।
Solve quadratic equation \( x^2 + 2x - 3 = 0 \)  by graphical method.

यदि फलन\( f(x) = \begin{cases} 3x - 1 & \text{for } x \geq 2 \\ x + 3 & \text{for } x < 2 \end{cases} \) ​ परिभाषित छ भने, के फलन f(x), x=2 मा निरन्तरता हुन्छ ? कारण दिनुहोस् ।

If the function \( f(x) = \begin{cases} 3x - 1 & \text{for } x \geq 2 \\ x + 3 & \text{for } x < 2 \end{cases} \)​ is defined, is the function f(x) continuous at x=2? Give reason.

मेट्रिक्स विधिद्वारा हल गर्नुहोस् (Solve by matrix method):
4x−3y=11 and 3x+7y+1=0

वृत्त \( x^2 + y^2 + 4x - 6y - 36 = 0 \)  को केन्द्र विन्दु भएर जाने र केन्द्रविन्दु (3,5) भएको वृत्तको समीकरण पत्ता लगाउनुहोस् ।
Find the equation of a circle having centre (3,5)  and passing through the centre of the circle \( x^2 + y^2 + 4x - 6y - 36 = 0 \).

प्रमाणित गर्नुहोस् (Prove that):
\( \dfrac{\cos^2 A - \sin^2 B}{\sin A \cdot \cos A + \sin B \cdot \cos B} = \cot(A + B) \)

यदि \( A + B + C = 180^\circ \) भए प्रमाणित गर्नुहोस्:
If \( A + B + C = 180^\circ \) then prove that:
\( \cos A + \cos B + \cos C = 1 + 4\sin\dfrac{A}{2} \cdot \sin\dfrac{B}{2} \cdot \sin\dfrac{C}{2} \)

एक जना अवलोकन कर्ताले 20 मि.अग्लो घरको छतबाट टेलिभिजन टावरको टुप्पो र फेदलाई अवलोकन गर्दा उन्नतांश कोण र अवनति कोण क्रमशः\( 45^\circ \) र\( 30^\circ \) पाएछ भने उक्त टावरको उचाई पत्ता लगाउनुहोस् ।
An observer observes from the roof of the house 20 m high to the top and bottom of the television tower and found the angle of elevation and angle of depression to be \( 45^\circ \) and \( 30^\circ \) respectively. Find the height of the tower.

यदि मेट्रिक्स \( \begin{pmatrix} p & 2 \\ q & 2 \end{pmatrix} \) ले एकाई वर्गलाई समानान्तर चतुर्भुज \( \begin{pmatrix} 0 & 4 & c & 2 \\ 0 & 1 & 3 & d \end{pmatrix} \)मा स्थानान्तरण गर्दछ भने p, q, c, d का मानहरू पत्ता लगाउनुहोस् ।
If the matrix \( \begin{pmatrix} p & 2 \\ q & 2 \end{pmatrix} \) transforms a unit square to the parallelogram\( \begin{pmatrix} 0 & 4 & c & 2 \\ 0 & 1 & 3 & d \end{pmatrix} \), find the values of p, q, c, d.

दिइएको तथ्याङ्कको मध्यकबाट मध्यक भिन्नता पत्ता लगाउनुहोस् ।

Find the mean deviation from mean of the given data.

दिइएको तथ्याङ्कबाट बीचरणशीलताको गुणाङ्क पत्ता लगाउनुहोस् ।

Find the coefficient of variation from the given data.

तीनओटा सङ्ख्याहरू समानान्तर श्रेणीमा छन् र ती सङ्ख्याहरूको योगफल 15 छ । यदि पहिलो र तेस्रो सङ्ख्या बिचको गुणोत्तर मध्यमा 4 छ भने ती सङ्ख्याहरू पत्ता लगाउनुहोस् ।
Three numbers are in arithmetic series and the sum of these numbers is 15. If a geometric mean between the first and third number is 4 then find the numbers.

समीकरण \( x^2 + 2xy\sec\alpha + y^2 = 0 \)ले प्रतिनिधित्व गर्ने एक जोडा रेखाहरूको बेग्लाबेग्लै समीकरण पत्ता लगाउनुहोस् । साथै ती रेखाहरू बिचको कोण पनि पत्ता लगाउनुहोस् ।
Find the separate equation of a pair of lines represented by the equation \( x^2 + 2xy\sec\alpha + y^2 = 0 \). Also find the angle between them.

समानान्तर चतुर्भुज PQRS का विकर्णहरू PR र QS परस्पर समद्विभाजन हुन्छन् भनि भेक्टर विधिबाट प्रमाणित गर्नुहोस् ।
Prove by vector method that the diagonals PR and QS of a parallelogram PQRS bisect each other.

विस्तारीकरण E को केन्द्र र नापो क्रमशः (−3,−4) र 2 छन् । R ले रेखा y=0 मा हुने परावर्तन जनाउँछ ।
The centre and scale factor of the enlargement E are (−3,−4) and 2 respectively. R represents the reflection in the line y=0.

(क) संयुक्त स्थानान्तरण EoR ले P(x,y) लाई कुन बिन्दुमा स्थानान्तरण गर्दछ ? पत्ता लगाउनुहोस् ।
In which point the combined transformation EoR transforms a point P(x,y)? Find it.

(ख) शीर्षविन्दुहरू A(2,0), B(3,1) र C(1,1) भएको \( △ABC\ \) लाई संयुक्त स्थानान्तरण EoR प्रयोग गरी स्थानान्तरण गर्नुहोस् ।
Transform the △ABC with vertices A(2,0), B(3,1) and C(1,1) using the combined transformation EoR.

(ग)△ABC र प्रतिविम्बलाई एउटै लेखाचित्रमा प्रस्तुत गर्नुहोस् ।
Present the △ABC and the image in the same graph paper.